抵抗回路の合成（対称回路・Y-Δ） ていこうかいろのごうせい
直列は和、並列は逆数の和。それだけでほどけない網目は、(1) 左右対称なら同電位の点をまとめる（または同電位の点をつなぐ枝を外す）、(2) △ と Y を変換する、(3) 平衡ブリッジなら中央の枝を無視する、の 3 つの手で直列・並列に直す。
令和8年7月期 問6 は左右対称な網目の端子間抵抗 Rab = (23/8)R（中段の 2 点を同電位としてまとめる）。1月期 問5 は △-Y 変換（90〔Ω〕の △ → 30〔Ω〕の Y）。「対称」「△-Y」「平衡ブリッジ」のどれを使うかを図から見抜くのが勝負。
抵抗の網目は、まず「同じ電位の点」を探します。左右対称な回路では、対称な位置の点は同電位なので 1 点にまとめてよく、同電位の 2 点をつなぐ抵抗には電流が流れないので外してもよいです。それでも残る三角形は △-Y 変換で星形に直すと、あとは直列と並列だけになります。
同じ値 R を n 本並列にすると R/n
Y の各辺は、その端子に接する △ の 2 辺の積 ÷ △ の 3 辺の和。△ が全部 R なら Y は R/3
△ の各辺は、Y の 2 辺ずつの積の和 ÷ 向かい側の Y の辺。Y が全部 R なら △ は 3R
典型問題の解き方（対称な網目の端子間抵抗・令和8年7月期 問6）
手順
- 対称な点をまとめる 回路は左右対称。中段の左の点と右の点は同電位なので 1 点 m にまとめる
- 上の節点 T から m へ 直接の縦 R が 2 本並列で R/2。中央の縦 R（T→中央点）と横 R 2 本並列（中央点→m、R/2）の直列で 3R/2。両者が並列：(R/2 × 3R/2)/(R/2 + 3R/2) = 3R/8
- m から下の節点 B へ 縦 R が 2 本並列で R/2
- 網目全体 3R/8 + R/2 = 7R/8
- 端子の R を足す Rab = R + 7R/8 + R = 23R/8
△-Y 変換の例（令和8年1月期 問5）
- △ の 3 辺 R1 = R2 = R3 = 90〔Ω〕
- Y に直す Ra = Rb = Rc = 90×90/(90 + 90 + 90) = 30〔Ω〕
- あとは直列・並列 ブリッジの辺が (30 + 45)、(30 + 15)、45、RX になり、平衡条件 75·RX = 45×45 から RX = 27〔Ω〕
並列は「積÷和」が使えるのは 2 本のとき だけです。3 本なら逆数の和で計算します。△-Y の式は「積÷和」、Y-△ は「積の和÷向かいの辺」で、分母を取り違えると 20〔Ω〕のような誤答になります。対称だからと中央の抵抗を全部外すのも誤りで、外してよいのは同電位の 2 点を つなぐ 枝だけです。
図を見たら「左右に折り返して重なるか」をまず確かめます。重なるなら対称、重ならないなら △-Y か平衡ブリッジを疑います。
この用語を押さえる問題
図に示すように R〔Ω〕の抵抗が接続されている回路において、端子 ab 間から見た合成抵抗 Rab〔Ω〕を表す式として、正しいものを下の番号から選べ。
正答: (23/8)R
正しい。回路は左右対称なので左右の中段節点は同電位とみなして1点にまとめられる。上の節点からその点へは、直接の R‖R = R/2 と、中央の R を経て R/2 に至る 3R/2 とが並列で (R/2×3R/2)/(R/2+3R/2) = 3R/8。そこから下の節点までは R‖R = R/2。網目全体で 3R/8 + R/2 = 7R/8。これに a 側と b 側の R を直列に加え、Rab = 7R/8 + 2R = 23R/8〔Ω〕。
この問題を解く次の記述は、図 1 に示すブリッジ回路によって、抵抗 RX を求める過程について述べたものである。［ ］内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、回路は平衡しているものとする。 (1) 抵抗 R1、R2 及び R3 の部分を、△-Y 変換した回路を図 2 ...
正答: Ａ=30 Ｂ=30 Ｃ=27
正しい。△-Y 変換で Y の各抵抗は隣接する 2 辺の積を 3 辺の和で割ったもの。R1 = R2 = R3 = 90〔Ω〕なので Ra = Rb = Rc = 90×90/(90+90+90) = 30〔Ω〕。図 2 では Rb は検流計 G と直列なので平衡条件に関係せず、ブリッジは (Ra + R4)、(Rc + R5)、R6、RX の 4 辺で平衡する。(Ra + R4)/R6 = (Rc + R5)/RX より (30+45)/45 = (30+15)/RX、RX = 45×45/75 = 27〔Ω〕。
この問題を解く問われた問題 2
- 一陸技 令和8年7月期 問6 図に示すように R〔Ω〕の抵抗が接続されている回路において、端子 ab 間から見た合成抵抗 Rab〔Ω〕を...
- 一陸技 令和8年1月期 問5 次の記述は、図 1 に示すブリッジ回路によって、抵抗 RX を求める過程について述べたものである。［ ］内...