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直列共振回路の Q と帯域幅 ちょくれつきょうしんのきゅー

4アマ 三陸特 二陸特 一陸技

R・L・C を直列にした回路は、ωL = 1/(ωC) となる共振周波数 f0 で電流が最大になる。尖鋭度 Q = ω0L/R は共振の鋭さで、電流が最大の 1/√2 になる 2 点の間隔（半値幅）は B = f0/Q。共振時は L や C の両端電圧が電源の Q 倍に上がる。

試験ではここ

令和8年7月期 問8 は R = 2〔Ω〕、C = 40/π²〔μF〕、L = 4〔mH〕の直列回路で f0 = 1,250〔Hz〕、Q = 5π、f2 − f1 = 250/π〔Hz〕を求める穴埋め。1月期 問7 は正誤（ω1 で電流は「進む」、ω2 で「遅れる」が正しく、逆に書いた肢が誤り）。1月期 問19 は共振周波数 2 倍で合成容量 1/4 を使ってコイルの分布容量 6〔pF〕を求める。7月期 問20 の Q メータも同じ原理。

コイルは周波数が上がるほど通しにくく、コンデンサは通しやすくなります。両方を直列につなぐと、ある周波数でちょうど打ち消し合い、残るのは抵抗 R だけになります。これが共振で、電流は最大 V/R です。R が小さいほど共振は鋭く（Q が大きく）、通す周波数の幅は狭くなります。

直列共振回路
直列共振回路。共振では V̇L と V̇C が打ち消し合い（V̇LC = 0）、それぞれの大きさは電源電圧の Q 倍
共振周波数
f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \qquad \omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C}

L〔H〕、C〔F〕。LC が 4 倍になると f0 は 1/2

尖鋭度 Q
Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{1}{\omega_0 C R} = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}

R が小さいほど、L/C が大きいほど Q は大きい。共振時の VL = VC = Q·V

半値幅（帯域幅）
B = f_2 - f_1 = \dfrac{f_0}{Q} \qquad Q = \dfrac{\omega_0}{\omega_2 - \omega_1}

f1、f2 は電流が I0/√2（電力が半分、−3〔dB〕）になる周波数。Q が大きいほど B は狭い

共振曲線と半値幅
共振曲線。I0/√2 になる f1 と f2 の間が半値幅 B = f0/Q。R が小さいほど山が高く鋭い

典型問題の解き方（f0・Q・半値幅・令和8年7月期 問8）

手順

  1. LC を計算 L = 4×10⁻³〔H〕、C = (40/π²)×10⁻⁶〔F〕。LC = 160×10⁻⁹/π² = 16×10⁻⁸/π²。√(LC) = 4×10⁻⁴/π〔s〕
  2. f0 f0 = 1/(2π × 4×10⁻⁴/π) = 1/(8×10⁻⁴) = 1,250〔Hz〕（Ａ）
  3. Q Q = ω0L/R = 2π×1250×4×10⁻³/2 = 5π ≒ 15.7（Ｂ）
  4. 半値幅 f2 − f1 = f0/Q = 1250/(5π) = 250/π ≒ 80〔Hz〕（Ｃ）
共振の前後で位相が入れ替わる
位相。f0 より低いと 1/(ωC) が勝って容量性（電流が進む）、高いと誘導性（電流が遅れる）。f0 で同相

正誤問題の要点（令和8年1月期 問7）

  1. 位相 ω1 < ω0 では容量性で電流は電圧より進む。ω2 > ω0 では誘導性で遅れる。逆に書いた肢が誤り
  2. 共振時の電圧 端子 ac 間（L と C をまとめた電圧）は 0〔V〕。L だけの電圧は Q × |V̇|
  3. Q の表し方 Q = √(L/C)/R も Q = ω0/(ω2 − ω1) もどちらも正しい

分布容量を求める（令和8年1月期 問19）

  1. 式 f = 1/(2π√(L(CV + C0)))。同じ L で f を 2 倍にすると合成容量は 1/4
  2. 立式 426 + C0 = 4 × (102 + C0)
  3. 解く 426 + C0 = 408 + 4C0 → 3C0 = 18 → C0 = 6〔pF〕
ひっかけ

半値幅は f0/Q で、f0 × Q ではありません。Q が大きいほど 狭く なります。「共振時に L の両端電圧が電源電圧に等しい」は誤りで Q 倍です。位相は「低い側で進み、高い側で遅れ」。コイルの性質（遅れ）が出るのは共振より 上 です。

ポイント

Q は 3 つの顔を持ちます。ω0L/R（回路定数）、VL/V（電圧の拡大率）、f0/B（帯域の狭さ）。どれで聞かれても同じ値です。

上部の看板「直列共振：Q = ω₀L/R、半値幅 = f₀/Q、L・C の電圧は Q 倍
半値幅は f0/Q。Q が大きいほど鋭く狭い

この用語を押さえる問題

一陸技 ・ 日本無線協会 令和8年7月期 無線工学の基礎 問8

次の記述は、図に示す直列共振回路について述べたものである。［ ］内に入れるべき値の正しい組合せを下の番号から選べ。 (1) 共振周波数 f₀ は、f₀ = ［Ａ］〔Hz〕である。 (2) 尖鋭度 Q は、Q = ［Ｂ］である。 (3) f₀ における回路の電流を I₀〔A〕...

正答: Ａ=1250　Ｂ=5π　Ｃ=250/π

正しい。LC = 4×10⁻³ × 40/π² × 10⁻⁶ = 16×10⁻⁸/π² より √(LC) = 4×10⁻⁴/π〔s〕。f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π×4×10⁻⁴/π) = 1/(8×10⁻⁴) = 1250〔Hz〕。Q = ω₀L/R = 2π×1250×4×10⁻³/2 = 5π。半値幅は f₂ − f₁ = f₀/Q = 1250/(5π) = 250/π〔Hz〕。

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一陸技 ・ 日本無線協会 令和8年1月期 無線工学の基礎 問7

次の記述は、図に示す直列共振回路について述べたものである。このうち、誤っているものを下の番号から選べ。ただし、共振角周波数を ω0〔rad/s〕及び共振電流を I0〔A〕とする。また、回路の電流 İ の大きさが、I0/√2〔A〕となる二つの角周波数をそれぞれ ω1 及び ω...

正答: 回路の電流 İ の位相は、ω1 で V̇ より遅れ、ω2 で V̇ より進む。

誤り。これが正答。ω1 < ω0 では 1/(ωC) > ωL となって回路は容量性なので、電流は電圧より進む。逆に ω2 > ω0 では誘導性となり電流は遅れる。記述は進み・遅れが逆である。

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一陸技 ・ 日本無線協会 令和8年1月期 無線工学の基礎 問19

図に示す回路において、標準信号発生器 SG の周波数 f を 300〔kHz〕にしたとき可変静電容量 CV が 426〔pF〕で回路が共振し、f を 600〔kHz〕にしたとき CV が 102〔pF〕で回路が共振した。このとき自己インダクタンスが L〔H〕のコイルの分布容...

正答: 6〔pF〕

正しい。共振周波数は f = 1/(2π√(L(CV + C0)))。f を 300〔kHz〕から 600〔kHz〕へ 2 倍にすると、同じ L で共振する合成容量は 1/4 になるので、426 + C0 = 4×(102 + C0)。426 + C0 = 408 + 4C0、3C0 = 18、C0 = 6〔pF〕。検算すると 432 = 4×108 で一致する。

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一陸技 ・ 日本無線協会 令和8年7月期 無線工学の基礎 問20

次の記述は、図に示す原理的な Q メータによるコイルの尖鋭度 Q の測定原理について述べたものである。［ ］内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、回路は静電容量が C〔F〕で共振状態にあるものとし、交流電圧計 Ｖ の内部抵抗は無限大とする。 (1) C...

正答: Ａ=V₁/RX　Ｂ=1/(ωC)　Ｃ=V₂/V₁

正しい。直列共振では LX と C のリアクタンスが打ち消し合い、回路インピーダンスは RX だけになるので IC = V₁/RX（Ａ）。C の両端電圧はこの電流にリアクタンスを掛けて V₂ = IC×1/(ωC) = V₁/(ωCRX)（Ｂ = 1/(ωC)）。共振時は 1/(ωC) = ωLX なので V₂/V₁ = ωLX/RX = Q（Ｃ）。V₁ を一定にしておけば電圧計 Ｖ の指示 V₂ が Q に比例し、目盛から Q を直読できる。

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問われた問題 12

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