レーダー方程式と最大探知距離 れーだーほうていしき
送信電力・アンテナ利得・波長・物標の有効反射断面積から、距離 R の物標からの受信電力を表す式。受信電力は R の 4 乗に反比例し、受信機が検出できる最小受信電力で決まる距離が最大探知距離。
計算問題。Pr＝Pt G² λ² σ/((4π)³ R⁴)、または A＝Gλ²/(4π) を使って Pr＝Pt G A σ/((4π)² R⁴)。Pt＝25〔kW〕、3〔GHz〕（λ＝0.1〔m〕）、σ＝π〔m²〕、A＝1.6〔m²〕、Smin＝−80〔dBm〕＝10⁻¹¹〔W〕で R⁴＝1.6×10¹⁷、R＝2×10⁴＝20〔km〕。「4 乗根」なので送信電力を 16 倍にしても距離は 2 倍にしかならない。
レーダーの電波は、物標まで行って薄まり、物標で散らばり、帰ってきてまた薄まります。行きで距離の 2 乗、帰りで距離の 2 乗、合わせて 4 乗で弱くなります。だから遠くの物標を見つけるには送信電力をものすごく増やすか、アンテナを大きくするしかありません。これを式にしたのがレーダー方程式です。
Pt は送信尖頭電力〔W〕、G はアンテナ利得（真数、送受共用）、λ は波長〔m〕、σ は物標の有効反射断面積〔m²〕、A はアンテナの実効面積〔m²〕、R は距離〔m〕。右の形は A＝Gλ²/(4π) を代入したもので、問題で A が与えられたときに便利
Smin は受信機が探知できる最小受信電力（最小検出感度）〔W〕。4 乗根なので、Pt を 16 倍、または Smin を 1/16 にして R は 2 倍。アンテナ利得 G は 2 乗で効くので G を 4 倍で R は 2 倍
問題では A の値が与えられ、この関係式も示される。λ が短い（周波数が高い）ほど同じ面積で利得が高い
典型問題の解き方（25〔kW〕、3〔GHz〕、σ＝π〔m²〕、A＝1.6〔m²〕、−80〔dBm〕）
手順
4 乗根を 2 乗根と取り違えると桁が大きく狂います。R⁴ の値は「16×10¹⁶」のように 4 乗数×10 の 4 の倍数乗 に書き直すと暗算で根がとれます。dBm は 1〔mW〕基準なので −80〔dBm〕は 10⁻⁸〔mW〕、W に直すとさらに 10⁻³ 倍で 10⁻¹¹〔W〕です。π が分子に 2 つ、分母に 2 つ出て消えるのが設問の作りです。
実際の探知距離を縮めるもの
船舶や航空のレーダーで「もう少し遠くまで見たい」とき、送信電力を上げるのは割に合いません（2 倍にしても距離は 1.19 倍）。実際はアンテナを大きくして利得を上げる、受信機の雑音を下げる、パルスを積分して S/N を稼ぐ方が効きます。ステルス機は σ を小さくして、この式の分子を削っています。
この用語を押さえる問題
レーダー方程式を用いて求めたパルスレーダーの最大探知距離の値として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、送信尖頭出力を 25〔kW〕、送信周波数を 3〔GHz〕、物標の有効反射断面積を π〔m²〕、アンテナの実効面積を 1.6〔m²〕、物標は受信機の受信電力が －80〔d...
正答: 20〔km〕
正答。レーダー方程式 Pr＝Pt G σ A/((4π)² R⁴) を用いる。λ＝3×10⁸/3×10⁹＝0.1 m、G＝4πA/λ²＝4π×1.6/0.01＝640π。Pr＝−80 dBm＝10⁻¹¹ W。G σ A/(4π)²＝640π×π×1.6/(16π²)＝64 なので R⁴＝Pt×64/Pr＝25×10³×64/10⁻¹¹＝1.6×10¹⁷ m⁴。(2×10⁴)⁴＝16×10¹⁶＝1.6×10¹⁷ より R＝2×10⁴ m＝20 km。
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