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標本化と量子化の誤差（折返し・量子化雑音）ひょうほんかごさ

一陸技

アナログ信号を標本化周波数 fs で離散化し、振幅を n ビットの段階に丸めるときに生じる誤差。最高周波数が fs/2 を超えると折返し雑音（エイリアシング）が、有限幅のパルスで標本化するとアパーチャ効果が、振幅の丸めで量子化雑音が生じる。

試験ではここ

令和8年1月期工学A 問17。fs＝2f0 のとき f0 を超えた成分は f0 を中心に「低い」周波数側へ折り返されて折返し雑音になる。アパーチャ効果では「高域」の周波数成分が減衰する。量子化雑音の S/N≒6n＋1.8〔dB〕（n ビット）は令和8年の 2 期には出ていないが定番。

アナログ信号をデジタルにするには、時間を区切る「標本化」と、振幅を段階に丸める「量子化」の 2 段階が要ります。標本化は、入力信号を変調信号、標本化パルスを搬送波とした振幅変調と同じです。だからスペクトルは fs ごとに同じ形が繰り返し、上下の側帯波が fs/2 を超えて重なると元に戻せなくなります。これが折返し雑音です。

標本化は振幅変調と同じ — 入力信号・標本化パルス・標本化された信号のスペクトル。fs の整数倍ごとに入力スペクトルの鏡像（側帯波）が並ぶ

標本化定理

f_s \ge 2 f_{\max}

fmax は入力の最高周波数、fs/2 をナイキスト周波数と呼ぶ。音声 4 kHz なら 8 kHz 以上。等号ぎりぎりでは LPF が理想的でなければ復元できないので、実際は余裕をとる

折返しの位置

f_{\mathrm{alias}} = f_s - f = f_0 - \Delta f \quad (f = f_0+\Delta f,\ f_s = 2f_0)

f0 を Δf 超えた成分は、f0 を中心に Δf だけ低い側に鏡写しになる。遮断周波数 f0 の理想 LPF でも分けられないので、標本化の前に帯域制限（アンチエイリアス）フィルタを入れる

折返し雑音（fs＝2f0 のとき） — fs＝2f0 のとき f0＋Δf の成分は f0−Δf に折り返される。LPF では取り除けない

標本化で生じる 3 つの誤差

折返し雑音（エイリアシング） 入力に fs/2 を超える成分が残っていると、側帯波が重なる。対策は標本化前の低域フィルタ、または fs を上げる
アパーチャ効果 標本化パルスが幅 τ をもつと、スペクトルに sin(πfτ)/(πfτ) の特性が掛かり高域が減衰する。τ が長いほど減衰が大きい。逆特性の補正（アパーチャ補正）で直す
補間雑音 復調側の LPF が理想的でなく、fs−f0 付近の成分（高調波側）が残る雑音。折返し雑音とは別物

量子化と量子化雑音 — 量子化。入力を 2ⁿ 段のステップ幅 Δ に丸めるので、±Δ/2 の誤差（量子化雑音）が残る

量子化雑音と S/N

N_q = \dfrac{\Delta^2}{12},\qquad \left(\dfrac{S}{N}\right)_{q} \approx 6.02\,n + 1.76\ \mathrm{[dB]}

Δ は量子化ステップ幅、n はビット数。誤差が −Δ/2〜＋Δ/2 に一様分布するとして電力は Δ²/12。フルスケールの正弦波なら 1 ビット増えるごとに S/N は約 6 dB 改善する。8 ビットで約 50 dB、16 ビットで約 98 dB

典型問題の解き方（折返し雑音の向きとアパーチャ効果）

手順

標本化を変調とみなす 標本化パルス（fs の線スペクトル）を搬送波、入力（0〜f0＋Δf）を変調信号とした AM。fs の両側に側帯波ができる
下側帯波の位置を出す fs−(f0＋Δf)＝2f0−f0−Δf＝f0−Δf。f0 を中心に Δf だけ「低い」側に折り返る
LPF で分けられるか確認 f0−Δf は入力の帯域（0〜f0）の中にあるので、遮断周波数 f0 の理想 LPF でも分離できない。これが折返し雑音
アパーチャ効果 幅 τ の矩形パルスは sinc の周波数特性。f が高いほど sinc は小さいので「高域の周波数成分」が減衰する

ひっかけ

折り返す向きは f0 を中心に 低い方 です。「高い方」の肢は誤りです。アパーチャ効果で減衰するのは「高域」で、低域はほとんど減りません。側帯波の重なりで生じるのは折返し雑音であって補間雑音ではありません。量子化雑音はビット数を 1 増やすと約 6 dB（電力で 1/4）減りますが、標本化周波数を上げても量子化雑音の総電力は変わりません。

上部の看板「fs ≧ 2fmax — fs は最高周波数の 2 倍以上。超えた分は低い側へ折り返り、量子化は 1 ビットで 6 dB

この用語を押さえる問題

一陸技・日本無線協会令和8年1月期無線工学A 問17

次の記述は、デジタル通信における標本化に関連する誤差について述べたものである。［］内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、標本化回路の入力信号の最高周波数を f0＋Δf〔Hz〕、標本化周波数を fs〔Hz〕とする。 (1) 図は、標本化の操作における入...

正答: Ａ=折り返し雑音　Ｂ=低い　Ｃ=高域の周波数成分

正答。fs＝2f0 のとき、f0 を超える成分 f0＋Δf は fs−(f0＋Δf)＝f0−Δf の位置、すなわち f0 を中心に低い周波数側へ折り返されて重なり、LPF で分離できない折り返し雑音（エイリアシング）となる。アパーチャ効果は、幅 τ の矩形パルスで標本化することで sin(πfτ)/(πfτ) の特性が掛かる現象で、高域の周波数成分ほど減衰する。

この問題を解く

一陸技・日本無線協会令和8年1月期無線工学A 問5

次の記述は、図に示す直交周波数分割多重(OFDM)方式の復調プロセスの基本的な原理を述べたものである。［］内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。ただし、各演算器の出力式の係数は無視するものとし、e は自然対数の底とする。なお、同じ記号の［］内には、同じ字句...

正答: Ａ=(an＋jbn){cos(2πnfst)＋j sin(2πnfst)}　Ｂ=j(2πnk)/N　Ｃ=逆離散フーリエ変換　Ｄ=離散フーリエ変換　Ｅ=−j(2πnk)/N

正答。SBI＋jSBQ＝Σ{(an cos−bn sin)＋j(an sin＋bn cos)}＝Σ(an＋jbn){cos(2πnfst)＋j sin(2πnfst)}＝Σ dn e^(j2πnfst)。t＝k/(Nfs) を代入すると u(k/(Nfs))＝Σ dn e^(j2πnk/N) で、これは dn の逆離散フーリエ変換(IDFT)の形である。したがって受信側では標本列を離散フーリエ変換(DFT)すれば dn＝(1/N)Σ u(k/(Nfs)) e^(−j2πnk/N) としてシンボルが復調できる。